Форум
Кто её порвал? (мат. задачка)
jta: Речь сегодня пойдет о тригонометрических рядах. Тригонометрический ряд - это разложение функции f(x) вида: f(x)=a0/2+a1cosx + b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ... + ancosnx + bnsinnx + ... Где коэффициенты при тригонометрических функциях вычисляются следующим образом: a0 = 1/π∫f(x)dx a1 = 1/π∫f(x)cosxdx b1 = 1/π∫f(x)sinxdx a2 = 1/π∫f(x)cos2xdx b2 = 1/π∫f(x)sin2xdx ... Все интегралы берутся от -π до π Сумма тригономертрического ряда в пределе есть функция f(x) на промежутке (-π;π) Итак, если мы вычислим в этом приближении например такую функцию: f(x)=(c1, -π<x<0 | c2, 0<x<π) То получим следующее разложение (матемтические выкладки я приводить не буду): f(x) = (c1+c2)/2 + ∑(k=[1;+∞)) 2(c1-c2)/π(2k-1)*sin(2k-1)x Исходная функция разрывна на (-π,π), значит и сумма ряда тоже разрывна, даже без учета особых точек. Но у нас есть одна из основных теорем математического анализа, что "сумма непрерывных функций - непрерывная функция". Здесь же мы имеем сумму непрерывных функций (тригонометрических), которая является разрывной функцией. В чем дело? Кто порвал функцию?
Ответов - 15
damngringo: у меня есть подозрение, что ответ напоминает анекдот про блондинок: -а где свет? (открывает холодильник) а вот он где
zhek: jta антох ты с ума сошёл?
Igor: нет, просто ему понравилось слово "порвал".
Creamery: jta смешно, да?
zhek: Igor точно!
violet: У нас же коэффициенты - не числа, а функции, которые разрывны на отрезке, поэтому это никакая не сумма непрерывных функций Но сегодня меня куда больше интересует вопрос, что ты вчера курил, чтобы в 3 часа ночи (!!!) повесить ТАКУЮ задачу?!
Препод: violet Нет, коэффициенты - числа, поскольку являются на самом деле определенными интегралами (об этом в начальном посте говорится). Мы говорим, что сумма двух непрерывных функций - непрерывна; отсюда по индукции следует, что сумма любого конечного числа непрерывных функций также непрерывна. Однако в ряде Фурье слагаемых бесконечно много, и тогда надо обсуждать предел, к которому этот ряд стремится в каждой точке. Теорема, на которую jta ссылается, здесь неприменима. Чудес не бывает.
violet: Препод Ладно, согласна, не заметила, что определенные. Я думала, это что-то вроде дифференциального уравнения только с интегралами. Ряды Фурье не встречала раньше. Джеффри, так это Вы украли пароль у Антона и вывесили задачу?
Препод: violet нет конечно. :)) Да это и не есть задача, а простейший вопрос, который можно было бы задать на устном экзамене "на тройку".
zhek: Препод ага
Препод: zhek Ну в миэфе-то эту тему не проходят... в ней ничего сложного нет, уверяю.
jta: Радует то, что получил ответ на свой вопрос. Огорчает то, что, похоже, серьезно меня тут мало кто воспринимает. А насчёт чудес..Всё зависит от трактовки, что для одного чудо, то для другого - лишь один из возможных исходов, который хоть и маловероятен, но всё же возможен. Другими словами, в точных науках не бывает чудес, но жизнь это не только точные науки.
Эланор: jta пишет: Другими словами, в точных науках не бывает чудес, но жизнь это не только точные науки. Ух ты! Я просто не смогла пройти мимо этой фразы:) "Любая точная наука основывается на приближении" (Б. Рассел) Мне с некоторых пор плохо понятно, почему существует понятие "точные науки". Человек изобрел инструментарий для того, чтобы приблизить действительный мир, записать его числами и функциями. Другими словами: эти самые точные науки -- не более чем попытка описать окружающее, и нет никакого абсолютного доказательства того, что эта попытка увенчалась успехом. Если иметь дело с числами и функциями, то чудес, разумеется, не бывает, их там просто быть не может, по определению. Ну а если за числами и функциями видеть этот самый мир, то математика -- наука чудесная:), как и физика, впрочем. Если что, извините, это я утром, спросонья:)
1004: jta А посложнее что-нибудь есть?
jta: 1004 Пока нет, но если будет - обязательно поделюсь.
полная версия страницы